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行測數量關系解題技巧:一元二次函數求極值

2021-07-02 09:46:58| 來源:中公教育 李泰

極值問題是近年來的考試熱點,出題人越來越傾向于考察極限思維。在行測考試中,對于極值問題的考察,有些題目是要通過一元二次方程去求最大/最小值的。這種題型快速求解需要我們掌握一種新的方法。

在講這種方法之前,我們先回顧一個高中的知識點:

均值不等式:兩個數a,b和一定時,乘積有最大值:并且當a=b時,ab乘積取最大。

這時,大家可能還有點疑惑,這個知識點究竟有什么用處呢?中公教育通過下面這個例題來看看它的用法。

例題

某商店出售A商品,若每天賣100件,則每件可獲利6元。根據經驗,若A商品每件漲1元錢,每天就少賣10件。為使每天獲利最大化,A商品應漲價多少元。

【中公解析】題目中A商品的銷量是隨著價格而變化的,想讓利潤最大化,而利潤=單件利潤X數量,所以在這個題中,我們實際上是要求乘積的最大值。

每件漲1元,每天就少賣10件,那假設漲了X元,每天就會少賣10X件。

所以漲價后的利潤=(6+X)(100-10X)

整理得: 利潤=10(6+X)(10-x),求這個一元二次方程得最大值。

根據前面的均值不等式,可以把6+X當成a,10-X當成b,

此時 利潤=10ab

a+b=6+X+10-X=16為定值,那么在a=b時,ab最大,10ab也最大

解得a=b=8,X=2,漲價2元時,利潤最大

這就是上題的求解過程,實際上為借助均值不等式來對一元二次方程求極值。

同時,我們可以看看對一元二次方程求極值題目的另一些考法,例如下面的這個例題。

例題

某汽車坐墊加工廠生產一種汽車坐墊,每套的成本是144元,售價是200元。一個經銷商訂購了120套這種汽車坐墊,并提出:如果每套坐墊的售價每降低2元,就多訂購6套。按經銷商的要求,該加工廠獲得最大利潤需售出的套數是多少?

【中公解析】這個題跟上一個題類似之處是同屬利潤問題,而不同點在于它是讓我們求數量為多少,我們知道銷量跟降價幅度是相關的,所以同樣可以先把最大利潤時的降價情況求出來,進而求出銷量。

根據題目已知條件,每套的利潤為200-144=56元,每降價2元,多賣6套,那假設降了2x元,則會多賣6套。

利潤=單件利潤X數量=(56-2x)(120+6X)=12(28-X)(20+X)

令28-X=a,20+X=b;a+b=28-x+20+x=48為定值,那在a=b時,ab最大,利潤也最大。

此時a=b=24,X=4.

降價4X2=8元,最大利潤時:售價=56-2X4=48,銷量=120+6X4=144。

根據上面兩個題的講解,我們來總結一下一元二次方程的解題步驟:

1、根據題干中的條件列出方程;

2、把X前的系數變成相同的一正一負;

3、借助均值不等式性質求解。

綜上所述,掌握這種方法能夠快速解出這類看似復雜的題目。方法很簡單,希望大家多加練習!

(責任編輯:白雪)
THE END  

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